2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)
文科数学（必修+选修Ⅰ）
注意事项：
1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把函数 的图像按向量 平移，得到 的图像，则 （ ）
A． B． C． D．
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．设 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
14．已知数列的通项 ，则其前 项和 ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm ．
16． 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设等比数列 的公比 ，前 项和为 ．已知 ，求 的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ．
（1）求函数 的解析式和定义域；
（2）求 的最大值．
19．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率 ．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，
底面 为正方形，侧棱 底面
分别为 的中点．
（1）证明 平面 ；
（2）设 ，求二面角 的大小．
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切．
（1）求圆 的方程；
（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数
在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ．
（1）证明 ；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案
评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A
7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B
二、填空题
13． 14． 15．
三、解答题
17．解：由题设知 ，
则 ②
由②得 ， ， ，
因为 ，解得 或 ．
当 时，代入①得 ，通项公式 ；
当 时，代入①得 ，通项公式 ．
18．解：（1） 的内角和 ，由 得 ．
应用正弦定理，知
，
．
因为 ，
所以 ，
（2）因为
，
所以，当 ，即 时， 取得最大值 ．
19．（1）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则 互斥，且 ，故
于是 ．
解得 （舍去）．
（2）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则 ．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有 件，故 ．
20．解法一：
（1）作 交 于点 ，则 为 的中点．
连结 ，又 ，
故 为平行四边形．
，又 平面 平面 ．
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，则 为等
腰直角三角形．
取 中点 ，连结 ，则 ．
又 平面 ，所以 ，而 ，
所以 面 ．
取 中点 ，连结 ，则 ．
连结 ，则 ．
故 为二面角 的平面角
．
所以二面角 的大小为 ．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ．
设 ，则
，
．
取 的中点 ，则 ．
平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，则 ．
中点
又 ， ，
所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角．
．
所以二面角 的大小为 ．
21．解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，
即 ．
得圆 的方程为 ．
（2）不妨设 ．由 即得
．
设 ，由 成等比数列，得
，
即 ．
由于点 在圆 内，故
由此得 ．
所以 的取值范围为 ．
22．解：求函数 的导数 ．
（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是 的两个根．
所以
当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．
（Ⅱ）在题设下， 等价于 即 ．
化简得 ．
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线： ．
所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ．
在这三点的值依次为 ．
所以 的取值范围为 ．
