北京市东城区2005—2006学年度综合练习（一）
高三数学（理科）
YCY
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 等于 （ ）
A． B． C．－2 D．2
2．已知 的展开式中，不含 的项是 ，那么正数p的值是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是 （ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．已知直线 上一点P的横坐标为a，有两个点A（－1，1）、B（3，3），那么使向量
与 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是 （ ）
A．－1<a<2 B．0<a<1 C． D．0< a<2
5．若指数函数 的部分对应值如下表：
则不等式 的解集为 （ ）
A．{ x |－1< x <1} B．{ x | x <－1或x >1}
C．{ x |0< x <1} D．{ x |－1< x <0或0< x <1}
6．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管
点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同
颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ）
A．10 B．48 C．60 D．80
7．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满中f（0）=1，且对任意实数a，b都有
，则f（x）的解析式可以是 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知 是首项为1，公比为q的等比数列， ，
，（其中m=2[ ]，[t]表示t的最大整数，例如[2，5]=2）.如果数列
有极限，那么公比q的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.
9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方
法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件. 那么比样本的容量n= .
10．若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则m= .
11．如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆 交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k= ；不等式组 表示的平面区域的面积是 .
12．设函数 若 ，则 的解析式为 = ，关于x的方程 =x的解的个数为 .
13．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于 ，球的表面积等于 .
14．设函数 ，给出以下四个结论：
①它的周期为π ②它的图象关于直线 对称；
③它的图象关于（ ）对称； ④在区间（ 上是增函数.
以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题： .
（注：填上你认为是正确的一种答案即可）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ>0）=
（1）求文娱队的人数；
（2）写出ξ的概率分布列关计算Eξ.
16．（本小题满分13分）
已知函数 ，曲线 在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为 ，若 时， 有极值.
（1）求a、b、c的值；
（2）求 在[－3，1]上的最大值和最小值.
17．（本小题满分14分）
如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C—PA—B的大小.
18．（本小题满分13分）
设A，B分别是直线 和 上的两个动点，并且 ，动点P满足 记动点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且 ，
求实数 的取值范围.
19．（本小题满分13分）
已知 数列 满足
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；
（3）若 对任意 恒成立，求实数t的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（1）当 且 时，求证：
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数 的定义域、值域都是[a，b]，若存在，
则求出a，b的值，若不存在，请说明理由.
（3）若存在实a，b（a<b），使得函数 的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]
（ ），求m的取值范围.
北京东城区高三数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．72 10． 11．1， 12． ，3 13．
14．①② ③④，①③ ②④
三、解答题（本大题6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7－x）人，那么只会一项的人数是（7－2x）人.
（1） ，
…………3分 即
………………5分 故文娱队共有5人.……………………7分
（2）ξ的概率分布列为
P（ξ=1）= ………………9分 P（ξ=2）= …………11分
…………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（1）由 ，得 ………………2分
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0. ①
当 有极值，则 ，可得4a+3b+4=0. ②
由①、②解得a=2，b=－4.………………5分 设切线l的方程为y=3x+m.
由原点到切线l的距离为 . 则 解得m=±1. ∵切线l不过第四象限，∴m=1.…6分
由于切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4. ∴1+a+b+c=4. ∴c=5. ………………7分
（2）由（1）可得 …………8分
令 得x=－2，
|
|
[－3，－2 |
－2 |
（－2， ） |
|
（ ，1 |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
………………………………11分
∴ 在x=－2处取得极大值 在 处取得极小值
又 ∴ 在[3，1]上的最大值为13，最小值为 .…………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：（1）∵PC⊥平 ABC，AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.……………………2分
∵CD⊥平面PAB，AC 平面PAB，
∴CD⊥AB.……………………4分
又PC∩CD=C， ∴AB⊥平面PCB.…………5分
（2）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连结PF，CF.
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.…………6分
由（1）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF.
由三垂线定理，得PF⊥AF. 则AF=CF= ，
在Rt△PFA中， ， ∴异面直线PA与BC所成的角为 ………9分
（3）取AP的中点E，连结CE、DE. ∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE= .
∵CD⊥平面PAB. 由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA.
∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角.………11分
由（1）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC= .
在Rt△PCB中， ，
在Rt△CDE中， ∴二面角C—PA—B的大小为arcsin .………14分
解法二：（1）同解法一. （2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC= .
以B为原点，如图建立坐标系.
则A（0， ，0），B（0，0，0）.
C（ ，0，0），P（ ，0，2），
， .
………………………………6分
则
∴异面直线AP与BC所成的角为 ………………9分
（3）设平面PAB的法向量为m=(x，y，z). ，
则 即 解得 令 ，得
设平面PAC的法向量为n= .
则 即
解得 令 ，得n=（1，1，0）.……………………12分
∴二面角C—PA—B的大小为 ………14分
18．（本小题满分13分）
解：（1）设 ，因为A、B分别为直线 和 上的点，故
可设 ，
…………………………4分
又 ， ………………5分
即曲线C的方程为 ………………6分
（2）设N（s，t），M（x，y），则由 ，可得
故 …………………………8分
、N在曲线C上， ……………………9分
消去s得
由题意知 ，且 ， 解得 ……………………11分
又 解得
故实数 的取值范围是 ……………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（1） ，
即
又 ，可知对任何 ， 所以 ……………2分
，
是以 为首项，公比为 的等比数列.……………………4分
（2）由（1）可知
………5分
当n=7时， ； 当 时， ；当 时，
∴当n=7或n=8时，bn取最大值，最大值为 ………………8分
（3）由 ，得
依题意（*）式对任意 恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意. ……………………9分
②当 时，由 ，可知
而当m是偶数时 ，因此 不合题意.………………………………10分
③当 时，由 ，
………………11分
设
，
的最大值为
所以实数t的取值范围是 ……………………………………13分
20．（本小题满分14分）
解：（1）
在（0，1）上为减函数，在 上是增函数.
由 ，且 ， 可得 和 即
…………3分 故 ，即 ………………4分
（2）不存在满足条件的实数a，b.
若存在满足条件的实数a，b，使得函数 的定义域、值域都是[a，b]，则
①当 时， 在（0，1）上为减函数.
故 即 解得a=b. 故此时不存在适合条件的实数a，b.………6分
②当 时， 在 上是增函数.
故 即 此时a，b是方程 的根，此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a，b………………8分
③当 时， 由于 ，而
故此时不存在适合条件的实数a，b. 综上可知，不存在适合条件的实数a，b.…………10分
（3）若存在实数 ，使得函数 的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb].
则 ①当 时，由于 在（0，1）上是减函数，值域为[ma，mb]，
即 此时a、b异号，不合题意.所以a，b不存在.
②当 或 时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在
故只有
在 上是增函数， 即
a，b是方程 的两个根.
即关于x的方程 有两个大于1的实根. ……………………12分
设这两个根为 则
即 解得
故m的取值范围是 …………………………14分
