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利用整除特征解答数学奥赛题 |
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2008-11-10 11:56:18 来源： 黄占松 |
将1 9九个数字写在一条纸带上，将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是（ ）。
在许多竞赛解答资料上，此题都是用试算的方法来解 的。虽然可以使用计算器，但是计算量仍然十分巨大。在竞赛时间十分有限的情况下，这样的试算是很困难的。而实际上，这道题我们只要运用数的一些整除特征，通过计算余数就能较轻松 解答出来。
因为77能被7和11整除，所以要判断一个数能不能被77整除，可以分两步走，首先判断这个数能不能 11整除，然后再判断这个数能不能被7整除。
我们在课外兴趣小组里都已经学过，一个数被11除所得的余数等于这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差。在这里，123456789被剪成三段成为三个数，这些数有如下特征：个位数比十位数大1，十位数 百位数大1……
所以我们可以得到，这里的两位数被11除所得的余数一定 1，四位数被11除所得的余数一定是2，六位数被11除所得的余数一定是3；一位数被11除所 的余数就是这个一位数，三位数被11除所得的余数是1加上这个数的首位数字，五位数被11除所得的余数是2加上这个数的首位数字，七位数被11除所得的余数是3加上这个数的首位数字。
把上述这个九位数剪成三 得到了三个数。这三个数的位数可能同时都是奇数，也可能是两个偶数和一个奇数。下面我们就分别进行讨论，看一看哪些算式的结果能被11整除。
1.三个数 位数都是奇数。
这三个数的位数可能是一、一、七，一、三、五和三、三、三 这三个数被11除所得的余数之和一定是3＋（x+y+z），这里的x、y、z分别是这三个数的首位数字，规定x＜y＜z。
显然，6＝1＋2＋3＜x+y+z＜1+8+9=18＜19。所以要 这三个数的和能被11整除，3＋（x+y+z）一定只能等于11，即x+y+z=8，x一定等于1，则y+z＝7，解得y=2, z=5或者y=3, z=4。
（1） x=1, y=2, z=5。算式为：1＋234＋56789，结果一定能被11整除。
（2） x=1, y=3, z=4。算式为：12＋3＋456789。这里12是两位数，456789是六位数，都是偶数位数，不符合前面我们假设的三个数的位数都是奇数，所以12+3+456789的结果不能被11整除。
2.两个数的位数都是偶数，一个数的位数是奇数。
这三个数的位数可能是二、二、五，二、四、三，二、六、一和四、四、一。这三个数被11除所得的余数之和一定是4＋x，这里的x是位数是奇数的数的首位上数字，x＜9。
所以要使这三个数的和 被11整除，4+x一定只能等于11，即x=7。
（1） 若一位数是7。这道算式为123456+7+89，结果一定能被11整除。
（2） 若三位数的首位数字是7。这道算式为12＋3456＋789或1234＋56＋789，结果一定都能被11整除。
（3） 五位数的首位数字不可能是7，所以不存在被11整除的算式。
这样我们通过讨论得到了有4道算式的结果能被11整除，它们是1＋234＋56789，12＋3456＋789，1234＋56＋789，123456＋7＋89。再来看一 它们能否被7整除。
1＋234＋56789中三个数分别被7 ，余数的和是1＋3＋5＝9；
12＋3456＋789中三个数分别被7除，余数的和是5＋5＋5＝15；
1234＋56＋789中三个数分别被7除，余数的和是2＋0＋5＝7；
123456＋7＋89中三个数分别被7除，余数的和是4＋0＋5＝9；
只有1234＋56＋789中三个数被７除的余数的和是7的倍数，所以只有这道算式能被7整除。
这样我们得 了只有1234＋56＋789能被77整除，也就是说中间的一段是56。
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